Τρίτη 30 Νοεμβρίου 2021

11 κανόνες που δεν διδάσκονται στο σχολείο

 


Ο Bill Gates σε μια πρόσφατη ομιλία του σε ένα γυμνάσιο, μίλησε για 11 κανόνες ζωής που δεν έμαθαν και δεν θα μάθουν στο σχολείο. Μιλάει για το πως οι «προοδευτικοί» δάσκαλοι δημιούργησαν μια γενιά χωρίς αίσθηση της πραγματικότητας και πως αυτή αντίληψη προετοιμάζει τα παιδιά να αποτύχουν στον πραγματικό κόσμο.

Κανόνας 1: Η ζωή δεν είναι δίκαιη - συνήθισέ το!

Κανόνας 2: Ο κόσμος δεν ενδιαφέρεται για την αυτό-εκτίμησή σου. Περιμένει πρώτα να επιτύχεις εσύ ο ίδιος κάτι ΠΡΙΝ αισθανθείς καλά με τον εαυτό σου.

Κανόνας 3: Δεν θα κερδίσεις 60.000 ευρώ το χρόνο τελειώνοντας το σχολείο. Δεν πρόκειται να γίνεις αντιπρόεδρος με δωρεάν αυτοκίνητο και κινητό τηλέφωνο μέχρι να τα κερδίσεις και τα δύο.

Κανόνας 4: Εάν νομίζεις ότι ο καθηγητής σου είναι σκληρός, περίμενε μέχρι να δεις το αφεντικό.

Κανόνας 5: Το γύρισμα των μπιφτεκιών δεν σου μειώνει την αξιοπρέπεια. Οι παππούδες σου είχαν μια διαφορετική λέξη για αυτή την εργασία: την έλεγαν ευκαιρία.  

Κανόνας 6: Εάν τα μουσκέψεις, ΔΕΝ ΦΤΑΙΝΕ ΟΙ ΓΟΝΕΙΣ ΣΟΥ. Γι' αυτό μην κλαψουρίζεις για τα δικά σου λάθη, αλλά μάθε από αυτά.

Κανόνας 7: Πριν γεννηθείς, οι γονείς σου δεν ήταν τόσο βαρετοί όσο είναι σήμερα. Έγιναν έτσι πληρώνοντας τους λογαρισμούς σου, καθαρίζοντας τα ρούχα σου και ακούγοντάς σε να λες πόσο «cool» είσαι. Πριν λοιπόν σώσεις τα δάση από τα παράσιτα της γενιάς των γονιών σου, προσπάθησε να καθαρίσεις τη ντουλάπα στο δωμάτιό σου.

Κανόνας 8: Το σχολείο μπορεί να έχει βρει τον τρόπο να εξαλείψει τις διαφορές μεταξύ κερδισμένων και χαμένων, αλλά η  ζωή ΟΧΙ. Μερικά σχολεία έχουν απορρίψει τις αρνητικές βαθμολογίες και θα σου δώσουν όσες ευκαιρίες θέλεις για να βρεις τη σωστή απάντηση. Αυτή η κατάσταση δεν μοιάζει ούτε στο ελάχιστο με την πραγματική ζωή.

 Κανόνας 9: Η ζωή δεν είναι χωρισμένη σε εξάμηνα. Δεν υπάρχουν ολόκληρα καλοκαίρια διακοπών και πολύ λίγοι υπάλληλοι είναι διατεθειμένοι να σε βοηθήσουν να «βρεις» τον εαυτό σου. Αυτό μπορείς να το κάνεις στον ελεύθερο χρόνο σου.

Κανόνας 10: Η τηλεόραση ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ η πραγματική ζωή. Στη πραγματική ζωή οι άνθρωποι είναι στις δουλείες τους και όχι στα μπαρ και στα καφενεία.

Κανόνας 11: Να είσαι ευγενικός με τους σπασίκλες. Στο τέλος μάλλον θα καταλήξεις να δουλεύεις για έναν από αυτούς.

Πηγή : www.sigmalive.com

Σάββατο 30 Οκτωβρίου 2021

Μαρία Ευθυμίου: «Πριν 40 χρόνια οι μαθητές δημοτικού ήξεραν περισσότερα από τους αποφοίτους λυκείου σήμερα»

 Η Ελληνίδα ιστορικός ήταν ιδιαίτερα αποκαλυπτική, ξεκάθαρη και με συγκεκριμένο σκεπτικό…Μαρία Ευθυμίου: Η Ελληνίδα ιστορικός και καθηγήτρια πανεπιστημίου παραχώρησε μία συνέντευξη στα μέσα Δεκεμβρίου. Η συνέντευξη που παραχώρησε έλαβε χώρα μέσα σε ένα συμπαθητικό εστιατόριο. Εκείνο βρισκόταν στο Κουκάκι. Η Ελληνίδα ιστορικός ήταν ιδιαίτερα αποκαλυπτική, ξεκάθαρη και με συγκεκριμένο σκεπτικό…

«Η βαθιά και παρατεταμένη κρίση που περνάμε δεν μας έδωσε κανένα ουσιαστικό μάθημα. Η πλειονότητα του ελληνικού λαού δεν θέλει να αλλάξει, άρα οποιαδήποτε βελτίωση υπάρξει θα είναι προσωρινή.

Δεν θα επιτρέψει να κάνουμε το άλμα που χρειάζεται. Εάν η δυσλειτουργία, η σήψη και η διάλυση παραταθούν, κάποιοι από τους γείτονές μας που εποφθαλμιούν θα μας διαμελίσουν και θα μας απορροφήσουν.

Το να ακούς μια τέτοια μαύρη εκτίμηση από έναν άνθρωπο σοβαρό που σπάνια μιλάει στα Μέσα, αλλά έχει αφιερώσει τη ζωή του στη μελέτη της Ιστορίας, σου προκαλεί σύγκρυο», ανέφερε χαρακτηριστικά.

Ερώτηση δημοσιογράφου: Μα δεν πιστεύετε ότι σιγά σιγά τα πράγματα θα πάνε καλύτερα, ιδιαίτερα αν υπάρξει μια πολιτική ηγεσία στον τόπο που θα ενισχύσει την ανάπτυξη;

Μαρία Ευθυμίου: Με τα μυαλά και τη νοοτροπία που έχουμε σήμερα, δεν σωζόμαστε. Μπορεί για ένα χρονικό διάστημα λίγων ετών να έρθουν περισσότερα κεφάλαια στην Ελλάδα και να υπάρξει ανάκαμψη. Θα είναι, όμως, πρόσκαιρη. Και θα ξαναβυθιστούμε – εάν πράττουμε τα ίδια. Μεγάλη ευκαιρία μας έδωσε, προ τριακονταπενταετίας, η είσοδός μας στην Ευρωπαϊκή Ενωση. Εμείς, όμως, αντί να ταιριάξουμε με τα προηγμένα κράτη και να αλλάξουμε τα δυσλειτουργούντα σημεία μας, ενδιαφερθήκαμε μόνο για τα χρήματα.

Οι πλούσιες και καλοδιοικούμενες χώρες, όμως, δεν έγιναν πλούσιες και καλοδιοικούμενες επειδή βρήκαν ξαφνικά χρήματα. Αμα ήταν έτσι, η Νιγηρία –που έχει πάμπλουτο υπέδαφος– θα ήταν μία από τις πιο πλούσιες και καλοδιοικούμενες χώρες του κόσμου. Δεν είναι θέμα πλούτου. Είναι πώς προσλαμβάνεις τον εαυτό σου και τη λειτουργία σου μέσα στην κοινωνία που ανήκεις. Είναι θέμα βαθύτατα πολιτικό, δηλαδή. Και αφορά όλη την κοινωνία, έναν έναν τον πολίτη.

Ερώτηση δημοσιογράφου: Ναι, αλλά έχουμε προχωρήσει αρκετά τα τελευταία 30 χρόνια…

Μαρία Ευθυμίου: Ασφαλώς. Αν δεις την Ελλάδα του ’49, όταν τελείωσε ο Εμφύλιος, ήταν μια χώρα καψαλισμένη από πάνω μέχρι κάτω. Η διαφορά εικόνας με σήμερα είναι τεράστια. Από τη δεκαετία του ’60 κιόλας είχε βελτιωθεί πολύ η χώρα. Και, βέβαια, μετά το ’80 ήρθαν πολλά χρήματα από την Ε.Ε. Aκοπα χρήματα. Τα οποία μας δίνονταν για να κάνουμε υποδομές, ώστε να μπορέσουμε να εκτοξεύσουμε την οικονομία μας και να συγκλίνουμε προς το ευρωπαϊκό επίπεδο.

Εμείς διαχειριστήκαμε το πράγμα όπως το διαχειριστήκαμε. Χωρίς σοβαρότητα και αναμέτρηση με το μέλλον. Eτσι, ήρθε η κρίση. Και βλέπω γύρω μας χώρες που βρίσκονταν κάτω να ανεβαίνουν προς τα πάνω, ενώ εμείς που ήμασταν ψηλότερα να πέφτουμε συνεχώς. Σε όλους τους τομείς. Και πώς να μην κατρακυλάμε, όταν δεν θέλουμε να δούμε τον εαυτό μας και να αλλάξουμε. Eχουμε εθιστεί να είμαστε μωρά.

Για όσα παθαίνουμε φταίνε πάντα οι άλλοι και ουδέποτε εμείς. Eτσι ανατρεφόμαστε και στις οικογένειές μας, όπου περιμένουμε οι γονείς μας να μας συντηρούν μέχρι τα γεράματά μας. Το ίδιο κάνουμε και με τις χώρες με τις οποίες μετέχουμε σε ευρύτερους συνασπισμούς. Περιμένουμε να μας νταντεύουν επίσης. Αενάως. Και να είμαστε, βέβαια, πάντοτε εν αγανακτήσει. Το να είμαστε «αγανακτισμένοι» είναι σταθερό σημείο μας. Eχουμε έφεση σ’ αυτό.

Ερώτηση δημοσιογράφου: Πώς θα ενηλικιωθούμε και θα γίνουμε πιο ισχυροί;

Μαρία Ευθυμίου: Για να γίνουμε πιο ισχυροί, θα πρέπει να συνομιλήσουμε με τον εαυτό μας και να πορευτούμε στη ζωή μας με εντιμότητα. Και όχι να καταφεύγουμε στη θρασυδειλία που δείχνουμε, δηλαδή να κοιτάμε πόσα θα αρπάξουμε, βρίζοντας κι από πάνω, κατηγορώντας τους άλλους για τα δικά μας λάθη κι ανεπάρκειες. Δεν γίνεται με τέτοια αναξιοπρέπεια να πορευθεί μια κοινωνία.

Πρέπει να γίνουμε γενναίοι. Γενναίος είναι αυτός που αναλαμβάνει την ευθύνη των πράξεών του και αποφασίζει να βασιστεί στις δυνάμεις του για να προχωρήσει. Να τηρήσει μιαν αντρίκια συμπεριφορά, όπως λέγαμε παλιά. Αλλά δεν νομίζω ότι θα συμβεί κάτι τέτοιο. Πολύ φοβάμαι ότι η μακρόσυρτη αδυναμία μας θα δώσει χώρο να απορροφηθούμε από άλλες δυνάμεις.

Ερώτηση δημοσιογράφου: Με βίαιο τρόπο εννοείτε;

Μαρία Ευθυμίου: Ένα τμήμα της εξέλιξης αυτής αναπόφευκτα θα είναι βίαιο. Και θα μας οδηγήσει, σταδιακά, να χάσουμε την πολιτιστική μας ταυτότητα – την οποία, εξάλλου, οι ίδιοι αποποιούμεθα και για την οποία αδιαφορούμε. Oπως, π.χ., για τη γλώσσα μας.

Ερώτηση δημοσιογράφου: Θεωρείτε ότι η Τουρκία μπορεί να διαδραματίσει αυτό τον ρόλο;

Μαρία Ευθυμίου: Η Τουρκία είναι μεγάλος παίκτης. Και εξ αυτού, εξαιρετικά επικίνδυνη. Πάντως, δεν θα είναι η Γερμανία αυτή που θα μας απορροφήσει, όπως λένε κάποιοι.

Ερώτηση δημοσιογράφου: Ναι, αλλά δεν βλέπω πολλούς να βγαίνουν και να τονίζουν ότι πρέπει να αλλάξουμε και να σοβαρευτούμε.

Μαρία Ευθυμίου: Eχει λεχθεί σε όλους τους τόνους, από πολλούς και επί μακρόν. Εμείς, ωστόσο, δεν το ακούμε αυτό. Μας αρέσει να ζούμε μέσα στη συνωμοσιολογία: ότι όλοι μάς επιβουλεύονται, ότι μας ζηλεύουν για το ωραίο μας κλίμα, τη χαλαρή ζωή μας, τα ορυκτά μας κ.λπ. Μέχρι και σήμερα το ένα τρίτο του ελληνικού λαού πιστεύει ότι το ψεκάζουν. Οπότε τι συζητούμε; Από ποια βάση ξεκινάμε;

Μαρία Ευθυμίου: Υποκριτικός πατριωτικός λόγος

Η Μαρία Ευθυμίου θεωρεί ότι η χώρα συνεχίζει σήμερα να ταλανίζεται και να μην μπορεί να ξεπεράσει τον διχασμό και τις πληγές του Εμφυλίου. Μπορεί, λέει, ο Εμφύλιος να τελείωσε το ’49, πολιτικά, όμως, ο διχασμός μεταξύ Αριστεράς και Δεξιάς παρατείνεται, με μεταλλάξεις, μέχρι σήμερα. Μάλιστα, στη διάρκεια των δεκαετιών που κύλησαν, συνέβη μία ανατροπή: οι ηττημένοι του Εμφυλίου αναδείχθηκαν, μέσα από το λαϊκό αφήγημα, στους ηθικούς νικητές του.

Μέσα στο υποσυνείδητο σημαντικού μέρους του ελληνικού λαού οι ηττημένοι του Εμφυλίου κατετάγησαν στα «παλικάρια», στους «κοινωνικά ευαίσθητους», στους «προοδευτικούς». Eτσι, στη Μεταπολίτευση, το οικοδόμημα της κοινωνίας περιστράφηκε υποδορίως γύρω από αυτό το αφήγημα. Ο καθένας παρουσίαζε τον εαυτό του ως «αριστερό», άρα ως «θύμα» της εκάστοτε «κακής κυβέρνησης» (που ο ίδιος πάντως εξέλεγε και παρωθούσε στα άθλια), ώστε να απαιτεί, υπό ιδεολογική κάλυψη, και άλλες παροχές και άλλες ασυδοσίες που δεν δικαιούνταν ούτε του αναλογούσαν.

Oπως αναφέρει στο τελευταίο βιβλίο της («Μόνο λίγα χιλιόμετρα. Ιστορίες για την Ιστορία», που γράφηκε σε συνεργασία με τον Μάκη Προβατά και κυκλοφόρησε τον Νοέμβριο από τις εκδόσεις Πατάκη), με την αποκατάσταση της Δημοκρατίας, αντί ν’ αδράξουμε την ευκαιρία να επανεκκινήσουμε την κοινωνία μας σε μια νέα βάση, υγιή, βυθιστήκαμε στις αρρώστιες του παρελθόντος και είδαμε τον εαυτό μας σε αντιπαράθεση με τις προηγούμενες εποχές.

Και καθώς αυτές οι προηγούμενες εποχές εμπεριείχαν πολύ και πολλές φορές υποκριτικό «πατριωτικό» λόγο, αποφασίσαμε ότι ο πατριωτισμός –το να πονάς δηλαδή και να φροντίζεις τη χώρα σου, να προστατεύεις την κοινωνία σου και το δημόσιο αγαθό– είναι «αντιδραστικό» και «φασιστικό», ενώ το να καταστρέφεις και να βανδαλίζεις τη δημόσια περιουσία της είναι «προοδευτικό».

Μαρία Ευθυμίου: Η ταμπέλα του αριστερού

Σημειώνει, στη συζήτησή μας, ότι, όπως λέει και ο Ζοζέ Σαραμάγκου, ο αριστερός λόγος σήμερα, αντί να υπερασπίζεται την αλήθεια, έχει γίνει η κολυμβήθρα του Σιλωάμ για την κάλυψη κάθε αθλιότητας. Αν προλάβεις και βάλεις την ταμπέλα του «αριστερού», ό,τι και να κάνεις γίνεται ανεκτό από μια κοινωνία που φοβάται να καταγγείλει το κακό μην τύχει και τη χαρακτηρίσουν, οι με την ταμπέλα «αριστερός» φασίστες, «φασιστική» και «αντιδραστική».

Και φέρνει σαν παράδειγμα την τραγωδία της Marfin. Τους τρεις νεκρούς –μια γυναίκα από τους οποίους ήταν, μάλιστα, έγκυος– που κάηκαν στο κέντρο της Αθήνας από ομάδες «αγανακτισμένων αριστερών», οι οποίοι φώναζαν ηρωικά «να καείτε, να καείτε, να πάτε να γ…τε». Επειδή εργάζονταν, ενώ θα έπρεπε, κατά τη γνώμη των «αριστερών» διαδηλωτών, να απεργούν. Λες κι η απεργία είναι υποχρεωτική.

Και γι’ αυτούς τους τρεις ανθρώπους δεν μιλάμε καθόλου επειδή κάηκαν από «αριστερούς». Δεν υπάρχει καμία μνεία. Πουθενά. Ούτε καν μία πλακέτα έξω από το κτίριο όπου κάηκαν ζωντανοί. Αντίθετα, τον τραγουδιστή Παύλο Φύσσα που μαχαιρώθηκε στον Πειραιά από κάποιες εγκληματικές φασιστικές ομάδες τον θυμόμαστε και τον τιμούμε – και σωστά πράττουμε. Τον θυμόμαστε, όμως, και τον τιμούμε επειδή οι δολοφόνοι ήσαν φασίστες και όχι αριστεροί. Αυτή, όμως, η ηθική δεν μπορεί, ως κοινωνία, να μας πάει πουθενά.

Μαρία Ευθυμίου: Οι απαιτήσεις

Από το 2006 η Μαρία Ευθυμίου έχει δώσει χιλιάδες διαλέξεις σε όλη την Ελλάδα διδάσκοντας Παγκόσμια και Ελληνική Ιστορία. Δεκάδες χιλιάδες ανθρώπων έχουν προσέλθει στα μαθήματα αυτά για να μπορούν να ερμηνεύουν καλύτερα όσα συμβαίνουν γύρω τους. Ως προς το θέμα της παιδείας, λέει πως στην κοινωνία έχει δημιουργηθεί ένα κλίμα χαμηλής απαιτητικότητας. Στα σχολεία όλοι οι μαθητές, έτσι κι αλλιώς, παίρνουν Α στο δημοτικό και 19 ή 20 στο γυμνάσιο, δουλέψουν δεν δουλέψουν, μάθουν δεν μάθουν. Εχουμε ένα απίθανο ποσοστό αριστούχων παγκοσμίως.

Καμία σύγκριση με παλαιότερα. Ο απόφοιτος δημοτικού του σχολείου της γειτονιάς πριν από 40 χρόνια ήξερε πολύ περισσότερα από πολλούς αποφοίτους λυκείου σήμερα. Μετά το 1980 αποφασίσθηκε το κλίμα αυτό προκειμένου «να μην επιβαρυνθεί η ψυχή των παιδιών». Είναι κι αυτό άλλη μία έκφανση της δήθεν «αριστερής» πλευράς μας. Δηλαδή, του τίποτα.

Μαρία Ευθυμίου: Η συνάντηση

Το εστιατόριο «Η φάμπρικα του Ευφρόσυνου», το διάλεξε η Μαρία Ευθυμίου – της αρέσει και είναι κοντά στο σπίτι της, στο Κουκάκι. Ξεκινήσαμε το γεύμα με μια υπέροχη κολοκυθόσουπα βελουτέ και μοιραστήκαμε μια γευστική μερίδα ιτσλί πολίτικο (πλιγούρι γεμιστό με κιμά, κουκουνάρι και μπαχαρικά) και μια πολύχρωμη καροτοσαλάτα με μαϊντανό, φουντούκι, αμύγδαλο, λεμόνι, μηλόξιδο και λουκούμι φασκόμηλο. Ηπιαμε νερό και όχι αλκοόλ, γιατί και οι δύο θα πηγαίναμε απευθείας για δουλειά. Μας κέρασαν μια ζεστή μηλόπιτα. Ο λογαριασμός ήταν 35,90 ευρώ.

Οι σταθμοί της Μαρίας Ευθυμίου

– 1955: Γεννήθηκε στη Λάρισα.

– 1962: Εγκαταστάθηκε με την οικογένειά της στην Αθήνα.

– 1977: Πήρε πτυχίο από το Τμήμα Ιστορίας και Αρχαιολογίας του Πανεπιστημίου Αθηνών.

– 1981: Ξεκίνησε να διδάσκει Ιστορία στο Τμήμα Ιστορίας και Αρχαιολογίας του Πανεπιστημίου Αθηνών.

– 1982: Γεννήθηκε ο πρώτος γιος της.

– 1984: Ολοκλήρωσε το διδακτορικό της στη Σορβόννη. Γεννήθηκε ο δεύτερος γιος της.

– 2013: Πήρε το Βραβείο Εξαίρετης Πανεπιστημιακής Διδασκαλίας στη μνήμη Β. Ξανθόπουλου – Στ. Πνευματικού.

Πηγή: enimerotiko/ kathimerini / filoitexnisfilosofias

Πέμπτη 28 Οκτωβρίου 2021

Καταδικασμένος δολοφόνος λύνει πανάρχαιο μαθηματικό πρόβλημα

Μέσα στη φυλακή βρήκε την ελευθερία στα ανώτερα μαθηματικά.

Ο Christopher Havens αυτή τη στιγμή εκτίει το 9ο έτος μιας 25ετούς ποινής κάθειρξης. Δεν πρόλαβε καν να τελειώσει το σχολείο όταν έγινε τοξικοεξαρτημένος ξεκινώντας το καθοδικό του σπιράλ στην εγκληματικότητα. Σαν δημιουργική απασχόληση μέσα στη φυλακή βρήκε το μαγικό κόσμο των μαθηματικών. Αφού πρώτα απέκτησε βασικές γνώσεις, άρχισε να ασχολείται με πιο «βαριά» μαθηματικά.

Σύμφωνα με ρεπορτάζ της DW, ο άλλοτε εξαρτημένος από ναρκωτικές ουσίες απόφοιτος δημοτικού, βρήκε το νόημα στα ανώτερα μαθηματικά τα οποία του γέννησαν μια ακόρεστη όρεξη για την επιστήμη αυτή. Προκειμένου να έχει συνεχή πρόσβαση σε βιβλία μαθηματικών παραδίδει και ο ίδιος μαθήματα στους συγκρατούμενούς του, στο πλαίσιο ενός είδους ανταποδοτικής εργασίας.


Η ενασχόλησή του του γέννησε γόνιμους προβληματισμούς τους οποίους αποφάσισε να μοιραστεί με τη συντακτική ομάδα του περιοδικού “Annals of Mathematics”. Οι προβληματισμοί του Havens βρήκαν ευήκοα ώτα στη μαθηματική κοινότητα και κάπως έφτασαν μέχρι τον καθηγητή μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Τορίνο, Umberto Cerutti.

Η αλληλογραφία με τον μέντορα των μαθηματικών

O Cerutti σκέφτηκε να τεστάρει το ανήσυχο μυαλό του κρατούμενου με ένα άλυτο πρόβλημα μαθηματικών. Η απάντηση του Havens ήταν παντελώς αναπάντεχη.Απάντησε με ένα κομμάτι χαρτί μήκους που ξεπερνούσε το ένα μέτρο, σαν πάπυρος δηλαδή με μια εξίσωση η οποία έδινε λύση το άλυτο μέχρι τότε πρόβλημα.

Αυτό που το έκανε ακόμα πιο εντυπωσιακό, πέρα από την ελλιπή του μόρφωση, ήταν ότι χρησιμοποίησε μόνο στυλό και χαρτί για να το λύσει χωρίς καμία πρόσβαση σε ηλεκτρονικό υπολογιστή.

Το πρόβλημα αφορούσε μια θεωρία αριθμών γύρω από τα  συνεχόμενα κλάσματα. Τα συνεχόμενα κλάσματα είναι αυτά που έχουν ένα μικτό κλάσμα στη θέση του παρονομαστή. Αυτή η δομή δίνει μια συνέχεια η οποία τείνει προς το άπειρο καθώς ενώνει τα κλάσματα αυτά.

Ένας κατάδικος θα κάνει τον κόσμο μας ασφαλέστερο

Φυσικά τα συνεχόμενα κλάσματα δεν έχουν εφαρμογή στα απλά μαθηματικά, όμως είναι πολύ σημαντικά σε εφαρμογές κρυπτογράφησης. Η ασφάλεια των οικονομικών συναλλαγών και οι στρατιωτικές επικοινωνίες βασίζονται πάρα πολύ σε αυτά και κάθε νέα ανακάλυψη σε αυτόν τον τομέα είναι πολύ σημαντική.



Η λύση που έδωσε ο Havens έθεσε νέους κανόνες στα συνεχόμενα κλάσματα και στην προσέγγιση μεγάλων αριθμών. Σαν κερασάκι στην τούρτα, η επίλυση του προβλήματος του χάρισε και την πρώτη του επιστημονική δημοσίευση, την οποία συνυπογράφει με τον Cerutti, καθόλου άσχημα για κάποιον που δεν τελείωσε το σχολείο.

Πηγή : www.ratpack.gr

Κυριακή 24 Οκτωβρίου 2021

82ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός στα Μαθηματικά «Ο ΘΑΛΗΣ»

 



ΕΛΛΗΝΙΚΗ  ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ  ΕΤΑΙΡΕΙΑ

Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34
106 79   ΑΘΗΝΑ
Τηλ. 3616532 – 3617784 – Fax: 3641025

e-mail : info@hms.gr

www.hms.gr

Αθήνα 22 Οκτωβρίου 2021
Αρ. πρωτ. 1043/22-10-2021

ΠΡΟΣ :
1.    Διευθυντές Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης
2.    Συντονιστές Εκπαίδευσης Μαθηματικών
3.    Διευθυντές Λυκείων – Γυμνασίων
4.    Παραρτήματα Ε.Μ.Ε.

82ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός στα Μαθηματικά «Ο ΘΑΛΗΣ»
Παρασκευή 5 Νοεμβρίου 2021

Δήλωση συμμετοχής μέχρι 3/11/2021

Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία (Ε.Μ.Ε.) διοργανώνει τον 82ο  Πανελλήνιο Μαθητικό Διαγωνισμό (Π.Μ.Δ.) στα Μαθηματικά «Ο ΘΑΛΗΣ». Σκοπός του διαγωνισμού είναι η καλλιέργεια της μαθηματικής σκέψης και της ευγενούς άμιλλας μεταξύ των μαθητών σε ένα καθαρά διανοητικό τομέα αλλά και η επιλογή των μαθητών που θα στελεχώσουν τις ομάδες που θα συμμετάσχουν στους Διεθνείς Μαθηματικούς Διαγωνισμούς.
Εξαιτίας της συνεχιζόμενης υγειονομικής κρίσης τη φετινή σχολική χρονιά ο 82ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός στα Μαθηματικά «Ο Θαλής» θα πραγματοποιηθεί σύμφωνα με την  εγκύκλιο του Υπουργείου Παιδείας και Θρησκευμάτων:

(Αριθμ. Πρωτ.: Φ15/133737/Δ2/20-10-2021)

εντός του σχολικού ωραρίου, τηρώντας απαρέγκλιτα τις οδηγίες του Υ.ΠΑΙ.Θ. και του Εθνικού Οργανισμού Δημόσιας Υγείας (ΕΟΔΥ) για την προστασία από τον κορωνοϊό-COVID 19.

Χρόνος, τόπος διεξαγωγής, διάρκεια
Ο διαγωνισμός θα διεξαχθεί την Παρασκευή 5 Νοεμβρίου 2021 και ώρες 12:00-14:00,. και ειδικά φέτος θα έχει διάρκεια δυο (2) ώρες, θα απαρτίζεται δε από τρία (3) θέματα πλήρους ανάπτυξης. Εξεταστικό κέντρο θα είναι όποιο σχολείο έχει ενδιαφερόμενους μαθητές, το οποίο θα πρέπει να διαθέσει ανάλογα με το πλήθος των μαθητών τις αντίστοιχες αίθουσες (χωρίς να είναι απαραίτητο να γίνει αναπροσαρμογή του ωρολογίου προγράμματος) και τους αντίστοιχους επιτηρητές.

Ποιοι συμμετέχουν
Στον διαγωνισμό αυτόν μπορούν να λάβουν μέρος μαθητές όλων των τάξεων των Λυκείων και των Β’ και Γ’ τάξεων των Γυμνασίων της χώρας, οι οποίοι και θα πρέπει να δηλώσουν συμμετοχή στον/στη Διευθυντή/ντρια της Σχολικής μονάδας που φοιτούν μέχρι και την Τετάρτη 3 Νοεμβρίου 2021.
Η συμμετοχή στον διαγωνισμό είναι προαιρετική.
Μπορούν να συμμετέχουν και μαθητές της Α΄ Γυμνασίου, αν το ζητήσουν, με τα θέματα της Β΄ Γυμνασίου. Αν κάποιος μαθητής Γυμνασίου ζητήσει να διαγωνιστεί με θέματα της Α΄ Λυκείου πρέπει να επικοινωνήσει με την ΕΜΕ (info@hms.gr) για να του δοθεί αυτή η δυνατότητα και να βρεθεί το κατάλληλο μέρος που θα εξεταστεί.

Εκδήλωση ενδιαφέροντος από το σχολείο
Ο/Η  Διευθυντής/ντρια του Σχολείου θα πρέπει να δηλώσει τη συμμετοχή του σχολείου του/της συμπληρώνοντας τη φόρμα που θα βρει στον ακόλουθο σύνδεσμο:

https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSfQFgqTr8bbgcYcISd-BWB4P-HgOtvqsl6EjUKBR7w_hzyWPA/viewform

Τα στοιχεία που ζητούνται είναι σημαντικά γιατί θα χρησιμοποιηθούν για την επικοινωνία και για την αποστολή των θεμάτων στα σχολεία – εξεταστικά κέντρα.

Στην ίδια φόρμα θα πρέπει να συμπληρωθεί και ο αριθμός των μαθητών ανά τάξη που έχουν εκδηλώσει ενδιαφέρον να συμμετάσχουν στον διαγωνισμό

Διαδικασία διαγωνισμού παραλαβή θεμάτων και αποστολή γραπτών
Τα θέματα του διαγωνισμού θα αποσταλούν στην ηλεκτρονική διεύθυνση του σχολείου που έχει δηλωθεί στη φόρμα εκδήλωσης ενδιαφέροντος μισή ώρα πριν την έναρξη του διαγωνισμού, μαζί με τις σχετικές οδηγίες. Σε όσα σχολεία έχουν συμπληρώσει τις ηλεκτρονικές φόρμες συμμετοχής θα σταλούν ηλεκτρονικά στο email τους τα θέματα του διαγωνισμού και, μετά τη συλλογή των γραπτών, θα αποσταλούν ευχαριστήριες επιστολές στον/στην διευθυντή/ντρια του σχολείου και στους/στις εμπλεκόμενους/ες εκπαιδευτικούς.
Με ευθύνη του/της  Διευθυντή/τριας:
1. Αναπαράγονται τα θέματα και μοιράζονται στους μαθητές
2. Καλύπτονται τα στοιχεία των μαθητών στις κόλλες με μαύρα αυτοκόλλητα (ή με άλλον τρόπο)
3. Συγκεντρώνονται τα πρωτότυπα γραπτά ανά τάξη και τοποθετούνται σε φάκελο.
4. α) Τα γραπτά των μαθητών μετά το πέρας του διαγωνισμού για τους Νομούς Αττικής, Δράμας, Ευρυτανίας, Ζακύνθου, Θεσπρωτίας, Κεφαλληνίας, Κυκλάδων, Πέλλης, Πρέβεζας, Ρεθύμνου, Φωκίδας, Χαλκιδικής και για τα νησιά του Ν. Δωδεκανήσου εκτός της Ρόδου θα  αποσταλούν στην Επιτροπή Διαγωνισμών της Ε.Μ.Ε στην Αθήνα με ημερομηνία αποστολής 5/11/2021.
Ειδικά για τα Σχολεία του Νομού Αττικής, αν αυτό είναι εφικτό, μπορούν τα γραπτά να παραδοθούν απ’ ευθείας στα γραφεία της ΕΜΕ (Πανεπιστημίου 34, Αθήνα) που θα είναι ανοικτά από 8.00 μέχρι και 20.30 την ημέρα του διαγωνισμού. Αντίστοιχη παράδοση μπορεί να γίνει και στο γραφείο του Παραρτήματος της ΕΜΕ στη Θεσσαλονίκη (Προξ. Κορομηλά 51) για τα γραπτά του Νομού Θεσσαλονίκης.

Παρακαλούμε στον φάκελο να σημειωθούν τα παρακάτω στοιχεία:


Αποστολέας
ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΣΧΟΛΕΙΟΥ:
ΤΑΧ. Δ/ΝΣΗ ΣΧΟΛΕΙΟΥ:
ΟΝΟΜΑ ΔΙΕΥΘΥΝΤΗ:
ΑΡΙΘΜΟΣ ΓΡΑΠΤΩΝ ΑΝΑ ΤΑΞΗ:
 Παραλήπτης
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ
Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34,
106 79 ΑΘΗΝΑ
Για την επιτροπή διαγωνισμών

β) Για υπόλοιπους νομούς όπου η ΕΜΕ διαθέτει Παράρτημα, τα γραπτά θα παραδοθούν από το εξεταστικό κέντρο σε εκπρόσωπο του Παραρτήματος στις 5/11/2021. Το Παράρτημα της ΕΜΕ θα φροντίσει να συνεργαστεί με τους διευθυντές των σχολείων για την παραλαβή των γραπτών.
Η αξιολόγηση των γραπτών θα γίνει από τα μέλη της Επιτροπής Διαγωνισμών της Ε.Μ.Ε. και από τους κατά τόπους συνεργάτες της υπό την επίβλεψη της Επιτροπής Διαγωνισμών.

Επισημαίνεται ότι την ευθύνη διοργάνωσης του διαγωνισμού έχει η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία και τα στοιχεία των μαθητών και εκπαιδευτικών θα χρησιμοποιηθούν μόνο από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία αποκλειστικά για τις ανάγκες του διαγωνισμού, όπως περιγράφονται παραπάνω.

Για το Διοικητικό Συμβούλιο
της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας


Ο Πρόεδρος
Ιωάννης Π. Εμμανουήλ
Καθηγητής ΕΚΠΑ
Ο Γενικός Γραμματέας
Ιωάννης Τυρλής
Καθηγητής Δευτεροβάθμιας  Εκπαίδευσης

Οι οδηγίες διεξαγωγής του διαγωνισμού «Ο ΘΑΛΗΣ» σε μορφή PDF (εδώ)

Κανονισμός Μαθηματικών Διαγωνισμών Ε.Μ.Ε. (εδώ)

Ψηφιακό Υλικό για μαθητές και καθηγητές απο τα περιοδικά της ΕME (προσφορά) (Θέματα-Λύσεις διαγωνισμών “Ο ΘΑΛΗΣ” και “Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ” της ΕΜΕ) (εδώ)

Πηγή : www.hms.gr

Τετάρτη 13 Οκτωβρίου 2021

Οδηγίες για την προώθηση των emails του σχολικού λογαριασμό σε άλλο λογαριασμό

Όλοι οι μαθητές και οι μαθήτριες, καθώς και οι εκπαιδευτικοί έχουν λογαριασμό στο Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο. Οι ειδοποιήσεις από την ηλεκτρονική τάξη eclass «πηγαίνουν» εκεί. Οπότε για να είναι κάποιος ενημερωμένος θα πρέπει να ελέγχει τον λογαριασμό του στο ΠΣΔ. Το username ειδικά των μαθητών είναι ένα γράμμα και κάτι νούμερα, δύσκολα να το θυμάται κανείς, οπότε κανένας δεν ελέγχει τον λογαριασμό του στο ΠΣΔ. Υπάρχει όμως τρόπος όλα τα mails που κατευθύνονται στον λογαριασμό στο ΠΣΔ να ανακατευθύνονται σε όποιον λογαριασμό ελέγχουμε (σε ένα λογαριασμό που ελέγχει ο μαθητής ή ο κηδεμόνας του, ή που συνήθως χρησιμοποιεί ο εκπαιδευτικός). 

Ένας οδηγός ακολουθεί παρακάτω : 

 

 

Σάββατο 11 Σεπτεμβρίου 2021

Δημιουργία pdf από φωτογραφίες που έχουμε στο κινητό μας

 

Μία εύχρηστη και δωρεάν εφαρμογή που μετατρέπει φωτογραφίες που έχουμε βγάλει με το κινητό μας σε pdf είναι και το Office Lens της Microsoft (χωρίς να προσθέτει λογότυπο στα παραγόμενα pdfs).

Παρακολουθείστε το παρακάτω βιντεάκι για να δείτε την διαδικασία :


 

Κυριακή 4 Ιουλίου 2021

 

ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΤΑΥΡΑΚΑΚΗΣ*26.06.2021 • 10:05

mathimatika-i-agora-chreiazetai-beautiful-minds0

Η σωστή μαθηματική εκπαίδευση, βασισμένη στην κοινή λογική, εξασκεί τη μεθοδική και κριτική σκέψη και την ευφυΐα, ενισχύει την ικανότητα έκφρασης και διατύπωσης με σαφήνεια και λιτότητα και συμβάλλει στην ικανότητα λήψης ορθών αποφάσεων και γενικότερα στην καλλιέργεια του πνεύματος. Στο ερώτημα «πού χρειάζονται τα Μαθηματικά;» η προφανής απάντηση είναι παντού! Επόμενη ερώτηση «ποια Μαθηματικά χρειάζονται;».

Η απάντηση είναι όλα τα Μαθηματικά, ακόμα και αυτά που θεωρούνται «πολύ θεωρητικά»! Υπάρχουν δομές και λειτουργίες στη φύση και στην κοινωνία οι οποίες ερμηνεύονται ή προτυποποιούνται μόνο με τη βοήθεια κάποιων μέχρι χθες ακραία θεωρητικών μαθηματικών, τα οποία πλέον σήμερα ανήκουν στην οικογένεια των εφαρμοσμένων μαθηματικών. Γενικότερα είναι δυσδιάκριτη η κατηγοριοποίηση των μαθηματικών σε θεωρητικά και εφαρμοσμένα. Αντικείμενα όπως η Άλγεβρα, ο Λογισμός, η Ανάλυση, η Συναρτησιακή Ανάλυση (Γραμμική και Μη Γραμμική), η Συνδυαστική, η Λογική, η Θεωρία Αριθμών, τα Δυναμικά Συστήματα, οι Διαφορικές Εξισώσεις (Συνήθεις και Μερικές), Θεωρία Πιθανοτήτων, Στοχαστικά Μαθηματικά, Στατιστική αποτελούν εργαλεία που χρησιμοποιούνται εξίσου στα θεωρητικά και στα εφαρμοσμένα μαθηματικά. Η Θεωρία Αριθμών είναι απαραίτητη στην κλασική κρυπτογραφία, ενώ η Συναρτησιακή Ανάλυση είναι ένα από τα βασικά εργαλεία της Κβαντικής Κρυπτογραφίας. Τα Δυναμικά Συστήματα χρησιμοποιούνται στη μελέτη της δυναμικής πληθυσμών και της εξάπλωσης ιών. Η Μηχανική Μάθηση και η Τεχνητή Νοημοσύνη βασίζονται σε έναν συνδυασμό μεθόδων Βελτιστοποίησης, Υπολογιστικής Στατιστικής και Θεωρίας Πιθανοτήτων. Η Στατιστική είναι στον πυρήνα των Big Data. Η Τοπολογική Θεωρία Κόμβων έχει σημαντικές εφαρμογές στη μελέτη του DNA, των πρωτεϊνών και των πολυμερών. Η Αρμονική Ανάλυση στηρίζει την ανάπτυξη νέας τεχνολογίας σε ανάλυση σημάτων και εικόνων. Ακόμα και η Google ιδρύθηκε βασιζόμενη στον αλγόριθμο Page Rank, ο οποίος εκτιμά την κορυφαία ιδιοτιμή μιας τεράστιας αναπαράστασης όλων των συνδέσμων του κυβερνοχώρου.

Πέρα από την ενασχόληση των πτυχιούχων μαθηματικών στη μαθηματική εκπαίδευση σε όλες τις βαθμίδες και μορφές του εκπαιδευτικού συστήματος, αναφέρουμε εδώ επιγραμματικά κάποια επαγγέλματα στα οποία η παρουσία μαθηματικών είναι εξίσου απαραίτητη και σημαντική. Ορισμένα εξ αυτών αναλύονται πιο διεξοδικά σε άλλα κείμενα της σημερινής παρουσίασης.

Διαχειριστής βάσης δεδομένων. Ενώ οι δεξιότητες υπολογιστών τείνουν να κυριαρχούν στην πλειονότητα αυτής της καριέρας, υπάρχει ανάγκη για μαθηματικές δεξιότητες που βελτιώνουν τη βάση δεδομένων και την καθιστούν πιο αποτελεσματική και χρήσιμη.

Χρηματοοικονομικός αναλυτής. Σε αυτή την εργασία θα αξιολογήσετε την απόδοση των αποθεμάτων, θα αξιολογήσετε τα χρηματοοικονομικά δεδομένα και θα μελετήσετε τις τάσεις των οικονομικών αγορών. Η ικανότητα χρήσης μαθηματικών (όπως διαφορικών εξισώσεων, στατιστικών και στοχαστικών) για την ενίσχυση της μελλοντικής επιτυχίας είναι σημαντική σε αυτή τη δουλειά. Οι περισσότερες εταιρείες απαιτούν, εκτός των μαθηματικών, γνώσεις και στα χρηματοοικονομικά.

Αναλυτής έρευνας αγοράς: Εάν μια εταιρεία πρόκειται να επενδύσει εκατομμύρια ευρώ σε ένα προϊόν ή μια υπηρεσία, πρέπει να γνωρίζει εάν υπάρχει μια κατάλληλη αγορά γι’ αυτό. Η δουλειά των αναλυτών έρευνας αγοράς είναι να κάνουν αυτόν τον προσδιορισμό. Χρησιμοποιώντας προηγμένες μαθηματικές μεθόδους παρακολουθούν την αγορά, προβλέπουν τις τάσεις πωλήσεων και μετρούν την αποτελεσματικότητα των προγραμμάτων μάρκετινγκ. 

Επιστήμονας της Έρευνας Πληροφοριών: Η τεχνολογία των υπολογιστών αλλάζει πάντα, και είναι ευθύνη των επιστημόνων της έρευνας πληροφοριών να εφεύρουν και να σχεδιάσουν νέους τρόπους χρήσης αυτών των συστημάτων. Αυτό μπορεί να μη φαίνεται σαν μια μαθηματική καριέρα, αλλά η ικανότητα επίλυσης σύνθετων προβλημάτων, συχνά χρησιμοποιώντας τα μαθηματικά ως θεμέλιο, είναι κρίσιμη. Αυτή η καριέρα απαιτεί γνώσεις της επιστήμης των υπολογιστών. 

Αναλογιστής: Εδώ γίνεται εκτίμηση κινδύνου έναντι του χρηματοοικονομικού κόστους, ώστε οι επιχειρήσεις να λάβουν σωστές αποφάσεις. Οι αναλογιστές βοηθούν τις εταιρείες να κάνουν τις σωστές επιλογές για πολλά ζητήματα, όπως πολιτικές, τιμές, έξοδα κ.ά. Η εργασία περιλαμβάνει τη συλλογή στατιστικών πληροφοριών, την εκτίμηση πιθανότητας και τον έλεγχο ασφαλιστηρίων συμβολαίων. Η βαθύτερη κατανόηση των μαθηματικών είναι απαραίτητη εδώ. 

Χρηματοοικονομικός Σύμβουλος: Οι άνθρωποι πρέπει να λαμβάνουν οικονομικές αποφάσεις, αλλά λίγοι καταλαβαίνουν τις λεπτομέρειες των αποθεμάτων, ομολόγων, φόρων, τόκων και άλλων μαθηματικών ζητημάτων που εμπλέκονται στα χρηματοοικονομικά. Μεγάλο μέρος της εργασίας σχετίζεται με τα μαθηματικά, όπως η εκτίμηση των αποδόσεων σε λογαριασμούς συνταξιοδότησης ή μετοχές. 

Αναλυτής Επιχειρησιακής Έρευνας: Εκτελεί πολλά καθήκοντα, αλλά συνοψίζεται καλύτερα ως καριέρα επίλυσης προβλημάτων με χρήση μαθηματικών. Σε αυτή τη δουλειά εντοπίζονται τα προβλήματα, δημιουργείται το μαθηματικό πρότυπο, επιλύεται και χρησιμοποιούνται τα αποτελέσματα για τη χάραξη πολιτικής από την ηγεσία της επιχείρησης.➔

Αναλυτής Προϋπολογισμού: Ο αναλυτής προϋπολογισμού εργάζεται για επιχειρήσεις και οργανισμούς προετοιμάζοντας τον προϋπολογισμό, τη δημιουργία οικονομικής έκθεσης και τον προγραμματισμό δαπανών. Κυρίως εργάζονται για τις κυβερνήσεις, αλλά και για εκπαιδευτικές, κρατικές και επαγγελματικές υπηρεσίες. 

Λογιστές: Οι λογιστές μπορεί να χρειάζονται ειδική εκπαίδευση και πιστοποιήσεις, αλλά ένα πτυχίο στα μαθηματικά είναι μια εξαιρετική αρχή. Οι λογιστές εξετάζουν τις οικονομικές καταστάσεις, υπολογίζουν τα φορολογικά στοιχεία και οργανώνουν οικονομικά αρχεία. Συχνά εργάζονται για κυβερνήσεις και ασφαλιστικές εταιρείες, οι περισσότεροι όμως αυτοαπασχολούνται. 

Ασφαλιστής: Πώς μπορεί μια ασφαλιστική εταιρεία να προσφέρει κάλυψη που είναι κερδοφόρα και βιώσιμη; Όλα καταλήγουν στη μέτρηση της στατιστικής πιθανότητας και του κόστους κάλυψης. Προφανώς, αυτό περιλαμβάνει πολλούς αριθμούς και νούμερα, καθιστώντας την μια εξαιρετική καριέρα για άτομα με μαθηματικές γνώσεις. 

Θετικός Επιστήμονας – Μηχανικός. Οι Φυσικοί, Βιολόγοι, Χημικοί, Μηχανικοί πρέπει προφανώς να κατανοήσουν τα μαθηματικά για να κάνουν τη δουλειά τους αποτελεσματικά. Είναι πρακτικά αδύνατο να είσαι, για παράδειγμα, Φυσικός χωρίς να έχεις σημαντικές γνώσεις μαθηματικών. Από τον Isaac Newton έως τον Stephen Hawking, οι Φυσικοί πάντα προσπαθούσαν να βελτιώσουν τα μαθηματικά μοντέλα για να κατανοήσουν τον κόσμο. 
Μηχανικός Αεροδιαστημικής: Οι μηχανικοί της αεροδιαστημικής επινοούν νέα συστήματα για να διατηρούν τα αντικείμενα στον αέρα καλύτερα για μεγαλύτερο χρονικό διάστημα. Χρησιμοποιώντας δημιουργικά τα μαθηματικά και τη φυσική, επινοούν νέες ατράκτους, πτερύγια, κινητήρες και άλλα στοιχεία για τα ιπτάμενα σκάφη. Επινοούν δοκιμές γι’ αυτές τις εφευρέσεις και καθορίζουν πώς οι δημιουργίες τους θα ενσωματωθούν σε πραγματικές ιπτάμενες μηχανές. 

Κρυπτογράφος: Το πεδίο της κρυπτογραφίας έχει αλλάξει πολύ από τις ημέρες του Navajo Code Talkers, αλλά οι βασικές αρχές παραμένουν οι ίδιες. Ο κρυπτογράφος καθορίζει νέους τρόπους κρυπτογράφησης και αποκρυπτογράφησης δεδομένων. Αρκετή δουλειά ενός κρυπτογράφου είναι καθαρή ανάλυση δεδομένων. Ωστόσο, αυτό το πεδίο απαιτεί επίσης πολλή δημιουργικότητα, γεγονός που το καθιστά ιδανικό για μαθηματικές περιπέτειες. 
Σε όλα αυτά τα επαγγέλματα με την πάροδο του χρόνου η συνεχής Επιμόρφωση και οι διαδικασίες Διά Βίου Μάθησης θα είναι πλέον μια καθημερινή πραγματικότητα. Επίσης στο μέλλον είναι αναμενόμενη η σημαντική αύξηση ζήτησης στελεχών από την αγορά εργασίας. Εκείνοι που εργάζονται σε θέσεις που σχετίζονται με τα μαθηματικά πρέπει να λάβουν πολλές πολύπλοκες πληροφορίες, να δημιουργήσουν θεωρίες, να βρίσκουν λύσεις και να παρέχουν καθοδήγηση. Αυτό απαιτεί ενεργές μαθησιακές δεξιότητες, οι οποίες επιτρέπουν να παραμένουν ενήμεροι για τα δεδομένα και τα θέματα που επηρεάζουν τις επιχειρήσεις τους. Δεξιότητες επικοινωνίας: Παρόλο που ο χειρισμός αριθμών αποτελεί τεράστιο μέρος της σταδιοδρομίας των μαθηματικών, σε καθημερινή βάση, οι επαγγελματίες πρέπει να γνωρίζουν πώς να χειρίζονται τους ανθρώπους. Ως αποτέλεσμα, οι λεκτικές και γραπτές επικοινωνιακές δεξιότητες είναι κρίσιμες. Δεξιότητες λήψης αποφάσεων: Οι εργαζόμενοι είναι συχνά υπεύθυνοι για αποφάσεις που επηρεάζουν τους πελάτες τους. Οι άνθρωποι βασίζονται στην εμπειρογνωμοσύνη τους και στην ικανότητά τους να κατανοούν πολύπλοκες πληροφορίες, επομένως χρειάζονται ισχυρές δεξιότητες λήψης αποφάσεων, που τους επιτρέπουν να ενεργούν ως αξιόπιστοι υποστηρικτές για λογαριασμό των πελατών τους. Δεξιότητες ανάλυσης συστημάτων: Αυτή η ικανότητα συνεπάγεται τον υπολογισμό του τρόπου λειτουργίας και αλλαγής των συστημάτων, δεδομένων των συνθηκών του περιβάλλοντός τους. Αυτό μπορεί να βοηθήσει τους επαγγελματίες να κατανοήσουν πώς οι ταχέως μεταβαλλόμενοι κόσμοι της επιστήμης, της τεχνολογίας και της χρηματοδότησης επηρεάζουν το έργο τους. Ομαδικές Ικανότητες: Η σταδιοδρομία των μαθηματικών απαιτεί πραγματικά μεγάλη συνεργασία. Προκειμένου να βρουν λύσεις σε τεχνολογικά και μαθηματικά προβλήματα, οι μαθηματικοί πρέπει να είναι σε θέση να εργαστούν ομαδικά, λαμβάνοντας πάντα υπόψη τη μεγαλύτερη εικόνα και τον τρόπο με τον οποίο η εργασία τους επηρεάζει τους γύρω τους.

Η ανάπτυξη των μαθηματικών σε μια χώρα έχει άμεσο αντίκτυπο στην αύξηση του εθνικού πλούτου. Έρευνα στη Μεγάλη Βρετανία απέδειξε ότι τα Μαθηματικά συνεισέφεραν πάνω από 200 δισεκατομμύρια λίρες στην οικονομία το 2010. Επίσης, πρόσφατες εκθέσεις του EPSRC (Engineering and Physical Sciences Research Council) δείχνουν ότι η έρευνα των Μαθηματικών Επιστημών παράγει ένα εξαιρετικό ποσοστό απόδοσης της επένδυσης. Ένας ρυθμός που ως λόγος οφέλους προς κόστος μπορεί να εκτιμηθεί ως εξής: Μηχανική 88, Φυσική 31, Χημεία 246 και Μαθηματικές Επιστήμες 588. Η χώρα μας, βγαίνοντας από δύο μεγάλες κρίσεις, οφείλει να λάβει πολύ σοβαρά υπόψη έρευνες αυτής της μορφής.

*ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΤΑΥΡΑΚΑΚΗΣ, Ομότιμος καθηγητής ΣΕΜΦΕ, ΕΜΠ, πρόεδρος Πρω.Παιδεί.Α

Πηγή : www.kathimerini.gr

Τρίτη 29 Ιουνίου 2021

Παραγοντοποίηση

 Η παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων διδάσκεται στην Γ' γυμνασίου αλλά είναι απαραίτητη για όλες τις τάξεις του Λυκείου. Σε αυτό το βίντεο σας παρουσιάζω όλες τις περιπτώσεις μαζί με τα κατάλληλα παραδείγματα με τρόπο κατανοητό τόσο για τον απλό μαθητή όσο και για τον συνάδελφο διδάσκοντα.


 

Πεδίο ορισμού συνάρτησης

 Το πεδίο ορισμού συνάρτησης προϋποθέτει ένα αρκετά ευρύ υπόβαθρο γνώσεων από τις προηγούμενες τάξεις ξεκινώντας από το Γυμνάσιο και στη συνέχεια εμπεριέχει όλες τις γνώσεις από την Α και Β Λυκείου. Εδώ παρουσιάζονται όλες οι βασικές περιπτώσεις συναρτήσεων που απαιτούν περιορισμούς, συνοδευόμενες από κατάλληλα παραδείγματα.

 


Δευτέρα 21 Ιουνίου 2021

Μαθηματικά για υποψηφίους

 

Μια πολύ ενδιαφέρουσα σελίδα στο facebook, που σκοπό έχει να βοηθήσει τους υποψήφιους για πανελλαδικές εξετάσεις, με ανταλλαγή απόψεων, ασκήσεων, λύσεων και πολλών άλλων ... αλλά και τους συναδέλφους :

Μαθηματικά για υποψήφιους
(Μπαρακλιάνος-Παπανδρέου)

Σάββατο 22 Μαΐου 2021

Το (άλυτο) “Δήλιον πρόβλημα” κι ο Ομάρ Καγιάμ

 




“Για να γνωρίσω το μυστήριο της ζωής

κούπας τα χείλη άγγιξα, πήλινης, φτωχιάς.

Χείλος στο χείλος μου ψιθύρισε: ‘Όσο ζεις πίνε!

Τι σαν πεθάνεις, δεν ξαναγυρνάς.”

Ομάρ Καγιάμ

Υπάρχουν πολλά άλυτα προβλήματα στα Μαθηματικά. Άλλα είναι απλώς δύσκολα,δηλαδή δεν έχει βρεθεί ακόμη η σωστή προσέγγιση που θα τα επιλύσει, άλλα είναι πιθανώς άλυτα εκ φύσεως, άλλα είναι άλυτα στα πλαίσια μιας συγκεκριμένης αντιμετώπισης που υπακούει υποχρεωτικά σε κάποια προδιαγραφή-νόρμα επίλυσης. Υπάρχει ένα τέτοιο πρόβλημα, που συν των άλλων έχει και θεϊκή προέλευση!

Το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου, το έθεσε ο ίδιος(σχεδόν..) ο εκηβόλος Φοίβος-Απόλλων στους κατοίκους της Δήλου, οι οποίοι ανήμποροι οι τάλανες να το αντιμετωπίσουν κατέφυγαν στον σοφό Πλάτωνα, μέσω του μαντείου των Δελφών.

Ο ημιμύθος λοιπόν λέει ότι γύρω στο 430 π.Χ μια φονική επιδημία μάστιζε το κυκλαδίτικο ιερό νησί και οι Δήλιοι κατέφυγαν στο μαντείο για να πάρουν έναν σωτήριο χρησμό-οδηγία. Το μαντείο αποφάνθηκε ότι για να τελειώσει το μαρτύριό τους έπρεπε να δείξουν λίγη περισσότερη γενναιοδωρία προς τον Απόλλωνα, αυξάνοντας το μέγεθος ενός κυβικού βωμού που του είχαν ήδη αφιερώσει, και μάλιστα όχι αυθαίρετα, αλλά έπρεπε να τον διπλασιάσουν ακριβώς!

Υπακούοντας στον χρησμό, όντως διπλασίασαν την ακμή του κύβου και έφτιαξαν έναν μεγαλύτερο βωμό, αποδεικνύοντας την ευσέβειά τους αλλά και την μαθηματική ασχετοσύνη τους! Και τα μικρά παιδιά ,στις μέρες μας βέβαια, ξέρουν ότι αν διπλασιαστεί η αρχική ακμή, έστω α, παίρνουμε έναν, όχι διπλάσιο, αλλά οκταπλάσιο κύβο.

(2α)3=8α3=8⋅V αρχικό.



Ο Απόλλων ήταν δυσαρεστημένος. Η ασθένεια συνέχισε να μαστίζει το νησί. Οι κάτοικοι, μαθημένοι πια στους διφορούμενους χρησμούς, κατέφυγαν για τη λύση του προβλήματός τους στον ξακουστό σοφό (και γεωμέτρη) Πλάτωνα τον Αθηναίο. Αυτός τους αποπήρε,όπως μάλλον τούς άξιζε! Αυτό που είχε ζητήσει το μαντείο δεν ήταν διπλάσια ακμή,αλλά διπλάσιος όγκος.

Συγκεκριμένα , έναν βωμό που η νέα του ακμή έστω α’, και ο νέος όγκος του ,έστω V’, θα ικανοποιούσαν τη σχέση: V′=α′3=2V=2⋅α3.

Ή ισοδύναμα: α′=2–√3⋅α

Αυτό λοιπόν που απαιτούσε ο θεός ήταν ένας βωμός με ακμή “τρίτη ρίζα του 2” φορές μεγαλύτερη.

Και ο σοφός Πλάτων κατέληξε ότι αυτό που ήθελε -κατά βάθος- ο θεός, εκφρασμένο μέσω του μαντείου, δεν ήταν βωμοί και μεγαλεία ,αλλά να ασχοληθούν λίγο περισσότερο με τα Μαθηματικά οι Δήλιοι , καθότι οι γεωμετρικές τους γνώσεις ήταν μάλλον θλιβερές.

Γνωρίζοντας λοιπόν το πρόβλημα,το οποίο όπως είδαμε ανάγεται στην γεωμετρική κατασκευή της τρίτης ρίζας του δύο, μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο Απόλλωνας φάνηκε τελικά μεγαλόψυχος και απάλλαξε τους κατοίκους από τη μάστιγα, ή, κάπως πιο ρεαλιστικά, ότι η ασθένεια τελικά θεραπεύτηκε από μόνη της , καθώς το γνωστό από τότε ως “Δήλιον πρόβλημα” δεν έχει λύση , όπως απέδειξε, μόλις το 1837, ο Pierre Wantzel.

To Δήλιο πρόβλημα, ο διπλασιασμός του κύβου, απαιτεί χρήση μόνο “Κανόνα και διαβήτη” σύμφωνα με τα αυστηρά γεωμετρικά πρότυπα των Ελλήνων. Κι όταν λέμε “κανόνα”, δεν εννοούμε υποδεκάμετρο/χάρακα με σημάδια. Και επιπροσθέτως ,ο αριθμός των διακριτών βημάτων πρέπει να είναι πεπερασμένος. Η ελληνική νόρμα, εκφρασμένη μέσα από το αξιωματικό σύστημα του Ευκλείδη, φαντάζει και είναι δύστροπη, αλλά έχει τη λογική της. Το να μην επιτρέπεται να χαραχτούν σημάδια στον κανόνα, έχει την έννοια του να μην μπορεί να προκαθοριστεί μια “μονάδα μέτρησης” πάνω στον κανόνα. Και αν αυτό ακούγεται κάπως φιλοσοφικό και αφηρημένο, ας σκεφτούμε τη σχετικότητα των “μονάδων μέτρησης” και των συστημάτων τους διαχρονικά.

Ο περιορισμός πάλι για πεπερασμένο αριθμό βημάτων είναι πιο “γήινος” και πηγάζει μάλλον από τον σεβασμό και την προσοχή ,αν όχι δέος, με τον οποίον αντιμετώπιζαν την έννοια του απείρου, και οπωσδήποτε από την κοινή λογική!

Ποιος εχέφρων άνθρωπος (και αυτοί οι “Παλαιοί” ήταν αρκούντως εχέφρονες) θα εκτελέσει άπειρες ας πούμε διχοτομήσεις μιας γωνίας; Για να θυμηθούμε έτσι κι άλλο ένα διάσημο άλυτο πρόβλημα της αρχαιότητας, την τριχοτόμηση της γωνίας. Αν ας πούμε διχοτομήσουμε (είναι πολύ εύκολο με κανόνα και διαβήτη) μία γωνία α, και συνεχίσουμε τις διχοτομήσεις “επ’ άπειρον”, παίρνουμε διαδοχικά γωνίες μέτρου α/2 , α/4, α/8,…, α/2^ν,… κι αν αθροίσουμε την ακολουθία:

α/4 + α/16 + α/64 +…+α/4^ν = α/3 … κι έχουμε τριχοτομήσει τη γωνία, μόνο που έχουμε καταστρατηγήσει τον κανόνα των πεπερασμένων βημάτων, και την κοινή λογική.



Delian Problem Or Doubling Cube Equivalence Among Various Parts Of Circle From Atlantic Codex Painting by Leonardo da Vinci

Επανερχόμενοι λοιπόν στο “Δήλιο πρόβλημα”, υπάρχουν πολλοί έξυπνοι τρόποι να λυθεί γεωμετρικά αλλά κανείς που να πληρεί την αυστηρή ελληνική νόρμα. Ασχολήθηκαν μεγάλα ονόματα των Μαθηματικών με το πρόβλημα.

Ο Αρχύτας (428-347 π.Χ), ο Μέναιχμος (380-320 π.Χ), ο Φίλων ο Βυζάντιος (280-220 π.Χ) , ο Νικομήδης (280-210 π.Χ), ο Διοκλής (240-180 π.Χ) και ο Ήρων ο Αλεξανδρινός (10-75 μ.Χ) , δώσανε λύσεις του προβλήματος. Όλες όμως αυτές οι λύσεις κάνουν χρήση κανόνα και διαβήτη χωρίς να τηρούνται οι απαραίτητοι περιορισμοί.

Ακόμη και μια ευφυής λύση,που αποδίδεται στον “πολύ” Ισαάκ Νεύτωνα, και φαίνεται πιο κάτω,απαιτεί να σημειωθεί η ακμή του κύβου πάνω στο χάρακα.



Στο σημείο αυτό, θα μπλέξουμε στην ιστορία μας και τον σπουδαίο Πέρση μαθηματικό (και με πολλές άλλες ιδιότητες ταυτόχρονα) και σοφό Ομάρ Καγιάμ.

Ένα από τα γνωστότερα μαθηματικά επιτεύγματα του Καγιάμ ήταν η εύρεση γεωμετρικών κατασκευών για τις ρίζες μιας κυβικής εξίσωσης, μέσω των τομών δύο κωνικών.

Η προσέγγιση του Καγιάμ είχε χρησιμοποιηθεί νωρίτερα από τον Μέναιχμο κυρίως, για την επίλυση συγκεκριμένων ειδικών περιπτώσεων κυβικών εξισώσεων και σε σχέση ακριβώς με τον διπλασιασμό του κύβου. Ο Καγιάμ ήταν ο πρώτος που γενίκευσε την γεωμετρική μέθοδο του Μέναιχμου ώστε να καλύψει ουσιαστικά όλες τις κυβικές. Μολαταύτα, με αρκετές “μεμονωμένες περιπτώσεις/αντιμετωπίσεις”, ώστε να αποφύγει τους αρνητικούς αριθμούς.

Αναφέρεται σε κάποιες σοβαρές πηγές και μελέτες , και είναι μάλλον γενικά αποδεκτό, πως ο Καγιάμ πίστευε λανθασμένα ότι η κυβική εξίσωση δεν μπορούσε να επιλυθεί αλγεβρικά, αλλά θεωρώ πως πρέπει να είμαστε πολύ προσεκτικοί στο να κάνουμε υποθέσεις σχετικά με το ότι μπορεί να αναφερόταν σε αυτό που συνιστά την σύγχρονη ιδέα μιας “αλγεβρικής” λύσης.

Μια από τις πιο διάσημες σχετικές ρήσεις του είναι:


“..Δεν πρέπει να δίνουμε μεγάλη σημασία στο γεγονός πως Άλγεβρα και Γεωμετρία είναι διαφορετικές στην εμφάνισή τους. Η Άλγεβρα είναι γεωμετρικά γεγονότα που έχουν αποδειχτεί!”

Αυτή η ρήση συνήθως “τεκμηριώνει” το πώς ο Ομάρ Καγιάμ συνέβαλλε στο “πάντρεμα-συμφιλίωση” των δύο τομέων, της Γεωμετρίας και της Άλγεβρας, που υπήρξαν τόσο αυστηρά διαχωρισμένοι από τους Έλληνες, και τον αναγάγει σε πρόδρομο του Ντεκάρτ…

Υπάρχει ασφαλώς κάποια αλήθεια σ’αυτή τη θεώρηση. Ο Καγιάμ ήταν σίγουρα πιο δεκτικός και “έτοιμος” από τους Έλληνες, στο να αντιμετωπίζει τα γεωμετρικά του τμήματα σαν “αριθμητικές ποσότητες” πιο πολύ,παρά σαν αυστηρά “χωρικές ,αφηρημένες οντότητες”. Και μάλιστα ανέπτυξε μια αριθμητική-υπολογιστική (“ευριστική” θα την λέγαμε ίσως σήμερα) εκδοχή της Ευκλείδειας (του Εύδοξου) θεωρίας της αναλογικότητας, η οποία προσεγγίζει πολύ τον ορισμό του Ντέντεκιντ (Dedekind) για τους άρρητους αριθμούς!

Ο Καγιάμ όμως, είπε αποδεδειγμένα και κάτι άλλο, πολύ σημαντικό για το θέμα μας.


“..Αυτή (η εξίσωση) δεν μπορεί να λυθεί με επιπεδομετρία , καθώς έχει έναν κύβο μέσα της. Για την επίλυση ,χρειαζόμαστε κωνικές τομές!”

Στο χωρίο του αυτό ακριβώς, μπορούμε να πιστώσουμε στον Καγιάμ την πετυχημένη πρόβλεψη περί της μη-επιλυσιμότητας του Δήλιου προβλήματος με “κανόνα και διαβήτη”, αλλά πιστεύω ότι ρίχνει και αποσαφηνιστικό φως στο υποτιθέμενα λανθασμένο πιστεύω του πως “η κυβική δεν μπορεί να λυθεί αλγεβρικά”.

Ας θυμηθούμε ότι γι’αυτόν “Η Άλγεβρα είναι γεωμετρία που έχει ΑΠΟΔΕΙΧΤΕΙ” και “Γεωμετρική Απόδειξη” για τον σίγουρα επηρεασμένο έντονα από τις αυστηρές ελληνικές νόρμες Πέρση σοφό, συνιστούσε ο “κανόνας και ο διαβήτης” . Αυτές ήταν οι “έγκυρες” αποδείξεις. Και τα τρία διάσημα αρχαία “άλυτα προβλήματα”, ο τετραγωνισμός του κύκλου, ο διπλασιασμός του κύβου και η τριχοτόμηση της γωνίας, ήταν ήδη γνωστό στην εποχή του ότι επιλύονταν με διάφορες γεωμετρικές μεθόδους, οι οποίες όμως ήταν “εκτός προδιαγραφών” και γι’αυτό θεωρούνταν -ως λογικές κατασκευές- κατώτερες. Οι ‘Ελληνες τις αποκαλούσαν “Μηχανικές κατασκευές” ,για να τις ξεχωρίσουν από τις αυστηρά Ευκλείδειες κατασκευές.

Έτσι, σε αυτά τα πλαίσια, μοιάζει μάλλον φυσική η δήλωση του Καγιάμ ,δεδομένης της θεώρησης σαν “έγκυρης” μόνο μιας θεωρητικής απόδειξης. Μιας αλήθειας που βασίζεται στο Ευκλείδειο αξιωματικό σύστημα (δηλαδή με “κανόνα και διαβήτη”). Με αυτή την ερμηνεία (και έχοντας πάντα στο μυαλό μας το “αξίωμά” του: “Άλγεβρα = αποδεδειγμένη Γεωμετρία) η περίφημη “λανθασμένη” δήλωσή του για την μη- επιλυσιμότητα των κυβικών είναι απολύτως σωστή, και κατ’ ουσίαν ήταν μια άλλης μορφής διατύπωση για το ότι το Δήλιο πρόβλημα δεν μπορούσε να λυθεί με κανόνα και διαβήτη.



Αλλά ας εμβαθύνουμε και λίγο στο “Γιατί;”, σε σχέση πάντα με το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου.

Οι αριθμοί που μπορούν να κατασκευαστούν με κανόνα και διαβήτη ανήκουν σε διαδοχικά σύνολα (με σύγχρονη αλγεβρική ορολογία θα μιλούσαμε για “επεκτάσεις σωμάτων”), της μορφής:K0 ⊂ K1 ⊂ K2 ⊂ K3 ⊂ K4 ⊂…Kν ⊂…όπου τα στοιχεία του Κο είναι της μορφής α(ο) + β(ο)−−−−√ του Κ1, της μορφής α1+β1−−√, με α1, β1 να ανήκουν στο Κ0 και ούτω καθεξής. Σε κάθε σύνολο Κν δηλαδή, ανήκουν τα στοιχεία της μορφής: αν+βν−−√, με αν και βν να ανήκουν στο Κ(ν-1).Σε καθένα από τα σώματα αυτά ,στα οποία ανήκουν οι κατασκευάσιμοι αριθμοί, περιέχονται λοιπόν γραμμικοί συνδυασμοί τετραγωνικών ριζών των στοιχείων των προηγούμενων σωμάτων, που στην ουσία περιέχουν ρίζες τέταρτης, όγδοης, κ.ο.κ τάξης. Οι κυβικές ρίζες λοιπόν, ΔΕΝ περιέχονται σε αυτά τα επεκτάσιμα σύνολα.

Το μαντείο ζήτησε έναν βωμό που δεν ήταν κατασκευάσιμος, γιατί δεν απαιτεί ούτε τετραγωνική, ούτε τέταρτη, ούτε γενικά καμία ρίζα άρτιας τάξης. Έτσι, ο αριθμός αυτός δεν βρίσκεται σε κανένα από τα διαδοχικά σώματα της μορφής Κν. Ο Απόλλωνας, μάλλον δεν το γνώριζε αυτό.
***

Γιώργος Ριζόπουλος – Λεμεσός, Ιούλης 2013

Πηγή: eisatopon

Αντικλείδι , https://antikleidi.com

Τετάρτη 5 Μαΐου 2021

Οδηγίες για το self test

 

 
 

1.       Πληροφορίες για τους μαθητές πρόσφυγες και μετανάστες και τις οικογένειές τους:

 

Ελληνικά       https://data2.unhcr.org/en/documents/download/86306

Αγγλικά     https://data2.unhcr.org/en/documents/download/86303

Γαλλικά     https://data2.unhcr.org/en/documents/download/86305

Αραβικά      https://data2.unhcr.org/en/documents/download/86302

Φαρσί         https://data2.unhcr.org/en/documents/download/86304

Κουρμαντζί  https://data2.unhcr.org/en/documents/download/86307

Τουρκικά    https://data2.unhcr.org/en/documents/download/86310

Λινγκάλα    https://data2.unhcr.org/en/documents/download/86308

Σομαλί    https://data2.unhcr.org/en/documents/download/86309

Ούρντου       https://data2.unhcr.org/en/documents/download/86311

Σορανί     https://data2.unhcr.org/en/documents/download/86330

 

2.       Τις οδηγίες/ συχνές ερωτήσεις για τα Covid-19 Self-test από την επίσημη σελίδα https://self-testing.gov.gr/ στα:

 

Ελληνικά    https://data2.unhcr.org/en/documents/download/86316

Αγγλικά  https://data2.unhcr.org/en/documents/download/86313

Γαλλικά  https://data2.unhcr.org/en/documents/download/86315

Αραβικά   https://data2.unhcr.org/en/documents/download/86312

Φαρσί      https://data2.unhcr.org/en/documents/download/86314

Σορανί   https://data2.unhcr.org/en/documents/download/86317

Τουρκικά https://data2.unhcr.org/en/documents/download/86318

Ουρντού     https://data2.unhcr.org/en/documents/download/86319

 

3.       τη λίστα με τα κέντρα στα οποία μπορούν να γίνουν επαναληπτικές εξετάσεις στην περίπτωση που το αποτέλεσμα είναι θετικό ή «άκυρο», είναι διαθέσιμη στο Refugee Info εδώ https://drive.google.com/file/d/16SJ-xHcsvtMg9ZoFdhuP8T3i5ekf8YFL/view.

Η λίστα είναι στα αγγλικά και περιλαμβάνει χάρτη Google maps.

 

4.       Τέλος, μία λίστα με τις περιοχές όπου ο ΕΟΔΥ έχει κινητές μονάδες που προσφέρουν δωρεάν  rapid COVID-19 tests μπορείτε να βρείτε εδώ

https://eody.gov.gr/komy-testing-eody/  (στα ελληνικά).